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Liaison et dépendance entre deux variables quantitatives
Régression linéaire simple
Position du problème
X et Y sont deux grandeurs statistiques observées
ex: en macro-économie
PIB, Revenu des ménages, Importations…
en micro-économie
Revenu d ’un ménage, bénéfices d ’une entreprise...
en médecine ou autres sujets
taille d ’un individu, poids...
Hypothèse de base : X et Y sont des grandeurs continues,
théoriquement définies dans IR. Dans la réalité on se contente
du fait que la différence entre deux valeurs de X (resp. Y) ait
un sens (par ex. l ’âge d ’une personne n ’est pas définie dans IR,
les valeurs sont discrètes, en revanche la différence d ’âge
entre deux personnes a un sens)
Dans l ’étude de la dépendance entre X et Y, on se pose trois
questions fondamentales :
X et Y sont-ils liés, comment mesurer cette liaison ?
Trouver une fonction qui permet de déterminer Y à partir de X
Estimer les paramètres de cette fonction ?
RAKOTOMALALA Ricco
Cours d ’Analyse de Données, HEC Lausanne
Etude de la corrélation
Position du problème
Evaluer la liaison entre X et Y, i.e répondre à la question X et Y ont-
ils une évolution commune ?
1) Etude graphique
Y
(a)
X
(b)
(c)
(d)
Plusieurs points de vue :
en terme d ’évolution - quand X augmente, Y augmente (diminue) ?
en terme de niveaux - quand X est faible (fort), Y est faible (fort) ?
Comment quantifier ces évaluations graphiques ?
RAKOTOMALALA Ricco
Cours d ’Analyse de Données, HEC Lausanne
2) Etude numérique : le coefficient de corrélation
Objectif : Quantifier la liaison entre X et Y de manière à mettre en
évidence
le
« sens »
de la liaison;
la
« force »
de la liaison.
Le coefficient de corrélation
cov(
X
,
Y
)
r
=
=
σ
X
.
σ
Y
∑
(
x
−
x
)(
y
i
i
2
i
i
i
i
−
y
)
i
∑
(
x
−
x
)
∑
(
y
−
y
)
2
Tableau de données
i
…
X
2.5
4.5
3.5
6.5
4.6
Y
3.5
5.5
4.5
7.8
8.5
i est le numéro d ’observation
•
si i est une date, on parle de données « temporelles »
ou encore « longitudinales »
•
si i représente un individu statistique (un ménage, une
voiture…), on parle de données transversales ou
encore de coupe instantanée
RAKOTOMALALA Ricco
Cours d ’Analyse de Données, HEC Lausanne
Interprétation : sens de
la corrélation
Interprétation : force de
la corrélation
| r |# 1, corrélation forte
r>0, corrélation positive
| r |# 0, corrélation faible
r<0, corrélation négative
r=0, absence de corrélation
3) Evaluation statistique : test d ’hypothèses
Problème :
•
on travaille souvent sur un échantillon (de taille limitée)
issu de la population
•
on veut inférer les résultats obtenus sur la population
originelle
ex: pour connaître les résultats des élections (plusieurs
millions de votants en France), on pose la question à un
échantillon de 1000 personnes choisis au hasard et on
en extrait une conclusion sur l ’ensemble des votants
RAKOTOMALALA Ricco
Cours d ’Analyse de Données, HEC Lausanne
Principe du test statistique :
Concernant la population totale, une hypothèse est formulée, la
question qui se pose est :
dans quelle mesure cette hypothèse est
confirmée / infirmée par les données observées
ex: « 50% des électeurs voteront pour Duchemol », ceci est-il
confirmé par les données observés ?
Attention :
⇑
on ne peut pas décider avec certitude puisque l ’on
ne connaît pas la population totale
mais le degré de confiance que l ’on accorde à la
conclusion peut être exprimé en terme de probabilité
Hypothèses à tester :
On oppose généralement une hypothèse dite nulle (H
0
) avec une
hypothèse dite alternative (H
1
), les risques associés à la prise de
décision sont les suivants :
Décision fondée sur les données
Décider que
H0 est vrai
Décision
correcte
Décider que H0 est
faux
Risque de première
espèce (α)
Etat de la
nature (réalité)
H0 est vrai
H0 est faux
(H1 est vrai)
Risque de 2
ème
Décision correcte
espèce (
β
)
RAKOTOMALALA Ricco
Cours d ’Analyse de Données, HEC Lausanne

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