gfgfgf.docx

ALFRED TARSKI

PISMA

LOGICZNO-FILOZOFICZNE

Tom 1

PRAWDA

IVyhrutt !>r.mclo~yl, redukcji naukowej dokonał,

wstępętn i przypiwnti opatrzy/

JAN ZYGMUNT

ttiblloftutfic A, Turxkicyo opracował

STEVEN GIVANT

uzupełnił

JAN ZYGMUNT

1995

WYDAWNICTWO NAUKOWE PWN

O              POJĘCIU PRAWDY

W ODNIESIENIU DO SFORMALIZOWANYCH

NAUK DEDUKCYJNYCH

%

Podstawa: O pojęciu prawdy w odniesieniu do sformalizowanych nauk dedukcyjnych, „Ruch Filozoficzny", t. J2 (1930/1931), s. 210-211.

(c) Estate of Alfred Tarski. By kind perinission.

Nota redakcyjna. Niniejsza publikacja jest zredagowanym przedrukiem abstraktu [30/3 la1; zabiegi redakcyjne polegały na uwspółcześnieniu pisowni i wprowadzeniu kursywy, której w pierwodruku w ogóle nie ma. Jest to autoreferat dwóch odczytów Tańskiego, wygłoszonych w Sekcji Logicznej Warszawskiego Towarzystwa Filozoficznego w dniu 8 października 1930 r. oraz w Polskim Towarzystwie Filozoficznym we Lwowie w dniu 15 grudnia 1930 r.

Zgodnie z intuicyjnym rozumieniem wyrazu „prawdziwość” mówimy, że zdanie „śnieg pada” jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg pada. Ogólnie można by powiedzieć:              jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy p,

lub też ogólniej jeszcze: A jest prawdziwe wtedy i tylko

wtedy, gdy - dla pewnego p

A

,p" i p. l aka defincja

prawdziwości jest jednak niepoprawna, gdyż występujące w niej wyrażenie «,p”» musi być uważane za funkcję o argumencie zmiennym, to zaś - jak wykazał p. Leśniewski prowadzi do antynomii, a mianowicie do antynomii kłamcy i [[antynomii] wyrazów heterosemantycznych.

Ponadto w obu tych sformułowaniach występuje pewna funkcja nieekstensjonalna (jest nią zarówno «„/>”» jak «A =              gdyż obie te funkcje zmieniają swą waitość,

choć za podstawiamy same zdania równoważne).

4

Pisma, ront 1: Prawda

Celem odczytu nie będzie zdefiniowanie prawdziwości jakiegokolwiek zdania języka potocznego; tego uczynić nie potrafimy. Zdefiniujemy prawdziwość zdań, występujących w językach pewnych systemów dedukcyjnych.

Można spróbować tak powiedzieć: zdanie pewnego systemu jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jest tezą tego

systemu. Taka definicja nie odpowiada jednak intuicjom

5

łączącym się z wyrazem „prawdziwość”, nie jest bowiem utrzymana przy niej zasada wyłączonego środka, która

mówi, że z dwu zdań sprzecznych jedno musi być prawdziwe: [ani] jedno z dwu zdań sprzecznych nie musi być

bowiem tezą systemu.

Aby podać poprawną i zgodną z naszymi intuicjami definicję prawdziwości zdania z pewnego systemu dedukcyjnego, odróżnimy przede wszystkim język, o którym mówimy, i język, w którym mówimy. Zdefiniujemy prawdziwość zdania, należącego do języka, o którym mówimy. Definicja, którą podamy, będzie już jednak należała do języka, w którym mówimy. Podamy tę definicję tylko dla pewnego określonego, niezmiernie elementarnego sys

temu dedukcyjnego, ale zupełnie analogicznie można

zbudować definicję prawdziwości zdania dla wielu innych systemów dedukcyjnych (mianowicie dla tych wszystkich systemów, w których rząd zmiennych - w sensie tzw. teorii typów - nie przekracza pewnej z góry danej liczby naturalnej).

Język, o którym mówimy (a który można by nazwać językiem elementarnej algebry klas) przedstawia się następująco. Zawiera trzy zmienne:              nć\ termin pier

wotny „c” (czytamy: ,jest częścią”), terminy logiczne: „

ii

(czytamy: „nieprawda, żc”), „V” (czytamy: „lub”), „fi” (czy

tamy: „dla każdego”), a nadto nawiasy. Aksjomaty tego

5

Pojęcie prawdy a sformalizowane nauki dedukcyjne

systemu wypowiadają pewne własności stosunku „być częścią właściwą”; oto przykłady:

(1)                                                                                                                                                                                                                                               Ua-{ac: a),

(2)                                                                                            YlaUb-{a <= b) V ~(bca)9

(3)                                                                                                                                                                                                                                                              ~Tla~nb~(acz b).

Spośród wyrażeń języka wyróżniamy tzw. funkcje zdaniowe. Funkcjami pierwszego rzędu, czyli elementarnymi, nazywamy inkluzje „a <= b”, „ó c cn itd.; wobec trzech zmiennych jest ich 9 rodzajów. Funkcje drugiego rzędu, występujące w tym języku, są to funkcje utworzone z funkcji pierwszego rzędu przy pomocy jednego z terminów logicznych (jest taką funkcją np. „(a cz b) V (b c: r/)”). Funkcje trzeciego rzędu są to funkcje utworzone z funkcji drugiego rzędu w taki sam sposób, w jaki zostały utworzone funkcje drugiego rzędu z funkcji pierwszego rzędu. Analogicznie

można określić funkcje dowolnego rzędu naturalnego. Funkcje zdaniowe, nie zawierające tzw. zmiennych wolnych, noszą nazwę zdań.

Język, w którym mówimy, zawiera wyrazy i wyrażenia logiczne w tym zakresie, w jakim występują np. w Principia Mathematicay a w szczególności więc wyrażenia równoznaczne z wyrażeniami języka, o którym mówimy (np. ,jest częścią” czyli ,, c „lub” itd.); zawiera nadto wyrażenia ,,Z1 ”, „z2”, (które oznaczają kolejno zmienne „a”y „c”), funkcję nazwową yJ(x>j”, której argumentami są „zt”, „z2”, „z3”, zaś wartościami nazwy odpowiednich inkluzji (tj. nazwy wyrażeń yya c /)”**,              „/; c= itd.), wyrażenie

* [Zauważmy, że symbol „<=T’ występuje zarówno w języku przedmiotowym -- o którym mówimy - jak i w metajęzyku - w którym mówimy.]

** [W oryginale: „a"              b*\ co - rzecz jasna - jest błędem drukarskim.]]

Pinna, łom 1: Prawda

              f—   - —- * ■ -              " ł *

„a” (które oznacza negację A-a), „x + y” (które oznacza sumę logiczną A-ai y-a) oraz termin ,,OxP" (który oznacza generalizację wyrażenia yzc względu na zmienną a, tj.

wyrażenie typu ,JIap”)*. Przez Ifup będziemy rozumieli I (z,„ zp),gdzie n, p = I5 2, 3.

Przy konstruowaniu definicji zdania prawdziwego posłużymy się pojęciem spełnienia funkcji zdaniowej przez

pewien ciąg przedmiotów. Określimy mianowicie w sposób indukcyjny, kiedy jakiś ciąg przedmiotów spełnia funkcję zdaniową /7-tego rzędu z języka, o którym mówimy. Ciąg C spełnia funkcję zdaniową pierwszego rzędu, tj. inkluzję In , wtedy i tylko wtedy, gdy (1) ciąg C jest określony dla liczb 1, 2, 3; (2) n, p = i, 2, 3; (3) n-ty wyraz ciągu jest częścią /7-tego wyrazu ciągu, tj. C11 <= Cp, Aby powiedzieć, kiedy jakiś ciąg spełnia pewną funkcję wyższego rzędu, wystarczy - wobec sposobu, w jaki te funkcje zostały utwoizione - powiedzieć, kiedy spełnia negację, sumę i generalizację funkcji pewnego rzędu, przy założeniu, że już wiadomo, kiedy jakiś ciąg spełnia funkcje tego rzędu. Otóż ciąg C spełnia X wtedy i tylko wtedy, gdy (1) (jw.), (2) ciąg C nie spełnia a. Ciąg C spełnia x 4- y wtedy i tylko wtedy, gdy (1) (jw.), (2) ciąg C spełnia lub spełnia y. Wreszcie ciąg C spełnia Hrn x (tj. generalizację A-a ze względu na «-tą zmienną) wtedy i tylko wtedy, gdy (1) (jw.), (2) n, p = 1,

2, 3; (3) zarówno C1 jak każdy ciąg, otrzymany z C przez zmianę tylko rt-tego wyrazu, spełnia x.

. Określiliśmy, kiedy ciąg przedmiotów spełnia jakąś funkcję zdaniową z języka, o którym mówimy; ponieważ zdania tego języka są również pewnymi funkcjami zdaniowymi,

* [Uwaga: litera „p" skraca w tym wzorze dowolne wyrażenie; ta sama litera w następnej formule:              p” jest - cc‘> zresztą zaznaczono - indeksem

przebiegającym zbi...