Hiperkomplex.pdf

(100 KB) Pobierz
A jelöléseknek utána kell nézni!
HIPERKOMPLEX hiperbolikus komplex számok
XVI. század;
másodfokú egyenletek;
Girolamo Cardano
és
Raffaello Bomeelli
olasz
matematikusok bevezették az �� + ��·
√
(−1)
jelölést.
XVII. század:
Leonhard Euler
jelölte a
√
(−1)
-et ��-vel.
Mivel az ��² = −1 jelölés csak egy szimbólum, ezért miért ne lehetne ��² = �� + ��i alakú.
Bármely ilyen rendszer három rendszerre vezethető vissza:
��²=−1 (komplex számok),
��²= 1 (hiperbolikus komplex számok),
��²= 0 (Study-féle számok).
Újabb szimbólum bevezetésével lehet tovább lépni: z = �� + ��i + ��j
Az összeadás és valós számmal való szorzás a szokásos tulajdonságú, a szorzás pedig disztributív
jobb és bal oldalról is.
Kommutativitást, asszociativitást nem feltétlenül követelünk meg.
A szorzást egy szorzótáblával lehet defniálni i²= ��
i
i + ��
ii
i + ��
ii
j,
��² =��
jj
+ ��
jj
i + ��
jj
j,
���� =��
ij
+ ��
ij
i + ��
ij
j,
���� =��
ji
+ ��
ji
i + ��
ji
j. Ami nem túl érdekes számrendszerre vezet.
De ha egy szimbólumot hozzáadunk, akkor eljutunk a kvaterniókhoz: z = �� + ��i + ��j + ��k.
A szorzási szabály: ��²= ��²= ��²= −1, ���� = −���� = ��, ���� = −���� = ��, ���� = −���� = ��.
Ebben a rendszerben ismét elvégezhető az osztás (ha z ≠ 0)
vagy mással jelölve:(z != 0)
A kvaternió algebra nem kommutatív. Ez a rendszer elvezet minket a vektoralgebrához (skalár
szorzat, vektoriális szorzat).
Ez után képzi a Cayley-számokat, ahol már 7 elem alkotja a képzetes részt.
(A szorzótábla közlésétől most eltekintenék.)
A Cayley-számok már nem is asszociatívak. Helyette egy „alternatív”-nak nevezett tulajdonságuk
van (uv)v =
u(vv)
és
v(vu)
= (vv)u.
Ebben a rendszerben is elvégezhető az osztás.
Az 58. oldalon tovább általánosít és bevezeti az algebrák halmazát. Egy algebrát a dimenziója és a
szorzótáblája defniál.
Legyen a = a₁i₁ + a₂i₂ +… + a
n
i
n
és minden j, k, = {1, 2,...,
n}-re
i
j
i
k
= p
jk,
₁i₁ + p
jk,
₂i₂ + … +
p
jk,n
i
n
szorzótábla
Ha egy algebrában létezik egység elem ��, melyre igaz, hogy i₁i
j
= i
j
i₁ = i
j
, akkor ezt az algebrát
hiperkomplex rendszernek nevezzük.
A 71. oldaltól... Asszociatív, alternatív algebrákat vizsgál. Majd bevezeti a lineáris algebrákat,
amelyben még a két szám szorzata sem feltétlenül van defniálva.
A 108. oldaltól a könyv végéig 4 kitüntetett algebrával
valós számok,
komplex számok,
hiperkomplex számok
és
Cayley-számok algebrájával
(Cayley-számok: Ez már a számhalmazok "nyolcdimenziósra" bővítése.
http://www.ta37.eu/matematika.html)
kapcsolatos tételeket fogalmaz meg és bizonyít (Hurlwitz-tétel, Frobenius-tétel).
FORRÁS:
http://qltura.blog.hu/2011/10/07/konyv_kantor_i_l_szolodovnyikov_a_sz_hiperkomplex_szamok
Halmazelméleti szempontból a kvaterniók a komplex számok önmagukkal vett direktszorzataként
értelmezhetők, a következő összeadási és szorzási szabályokkal:
Hiperkomplex szám – a matematikai analízisbe bevezetett olyan számfogalom, mely a közönséges
komplex szám (l. o.) fogalmának általánosítása. Mint általánosítás egyrészt arra szolgál, hogy a
fogalom bővítésével a közönséges műveleteket magasabb szempontból tekinthessük át,
megállapíthassuk, hogy ezeknél alkalmazásban levő alaptételek között minő összefüggés van és
megállapítsuk, hogy tisztán logikailag nem volna-e lehetséges a mi közönséges
számrendszereinktől különböző számrendszerek megalkotása, és ha igen, a közönséges
számrendszerünk minő alaptulajdonságai mennek veszendőbe. [Pallas
Nagylexikona]
http://www.kislexikon.hu/hiperkomplex_szam.html

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin