projekt kondensator.docx

Paweł Magiera                                                                                                                                                                                           WIMIR – MiBM – II Rok, grupa A5

Modelowanie równania rozładowywania kondensatora przynajmniej 3 różnymi metodami z porównaniem do metody analitycznej

W projekcie wykorzystam następujące metody:

-metodę Eulera jawną

-metodę Eulera niejawną

-metodę Rungego-Kutty II rzędu

-metodę Rungego-Kutty IV rzędu

W moim projekcie będę badał przebieg rozładowywania kondensatora w czasie. Porównam jak podobne wyniki do rozwiązania analitycznego (które przyjmuję jako dokładne) dają różne metody rozwiązywania równań różniczkowych. Będę badał przedział czasowy od 0 do 20 sekundy. Jako stałe wartości przyjmuję:

-pojemność kondensatora w faradach C=0.00001;

-opór kondensatora w omach R=500000;

-napięcie początkowe w woltach U0=10;

1) Równanie analityczne rozładowywania kondensatora:

dUdt=-URC

To nasze równanie różniczkowe opisujące jaka nastąpi zmiana napięcia na okładce w danym czasie. Podstawiając stałe wartości R, C i rozwiązując równanie uzyskamy wykres rozładowywania kondensatora który umieszczę niżej.

2) Metoda Eulera jawna

Ui+1=Ui+hf(ti,Ui)

a w naszym przypadku Ui+1=Ui+h(-UiRC)

Gdzie Ui+1 jest kolejną wartością napięcia po czasie, Ui jest wartością startową którą musimy znać aby móc skorzystać z tej metody, R i C są stałymi, a h to krok naszego równania. Rozwiązujemy równanie dostając kolejne wartości napięcia aby uzyskać przybliżony wykres zależności napięcia od czasu dla naszego kondensatora.

3) Metoda Eulera niejawna

Ui+1=Ui+hf(ti+1,Ui+1)

a w naszym przypadku Ui+1=Ui+h(-Ui+1RC)

przekształcamy do postaci którą możemy rozwiązać Ui+1=Ui1+hRC

Gdzie Ui+1 jest kolejną wartością napięcia po czasie, Ui jest wartością startową którą musimy znać aby móc skorzystać z tej metody, R i C są stałymi, a h to krok naszego równania. Rozwiązujemy równanie aby uzyskać przybliżony wykres zależności napięcia od czasu dla naszego kondensatora.

4) Metoda Rungego-Kutty II rzędu

Ui+1=Ui+12(k1+k2), gdzie

k1=hf(ti,Ui)

k2=hf(t1+h,UI+k1), dla naszego równania

k1=h(-UiRC)

k2=h(-(Ui+k1)RC)

Aby skorzystać z metody Rungego-Kutty II rzędu musimy wprowadzić dwa nowe współczynniki pomocnicze – k1 i k2. Dla naszej funkcji Ui+1 jest kolejną wartością napięcia po czasie, Ui jest wartością startową którą musimy znać aby móc skorzystać z tej metody, R i C są stałymi, a h to krok naszego równania. Rozwiązujemy równanie dostając kolejne wartości napięcia aby uzyskać przybliżony wykres zależności napięcia od czasu dla naszego kondensatora.

5) Metoda Rungego-Kutty IV rzędu

Ui+1=Ui+16(k1+2k2+2k3+k4), gdzie

k1=hf(ti,Ui)

k2=hf(t1+h2,UI+ k12)

k3=hf(t1+h2,UI+ k22),

k4=hf(t1+h, UI+k3), dla naszego równania

k1=h(-UiRC)

k2=h(-(Ui+k12))RC)

k3=h(-(Ui+k22)RC)

k4=h(-(Ui+k3)RC)

Aby skorzystać z metody Rungego-Kutty IV rzędu musimy wprowadzić cztery nowe współczynniki pomocnicze – k1, k2, k3, k4. Dla naszej funkcji Ui+1 jest kolejną wartością napięcia po czasie, Ui jest wartością startową którą musimy znać aby móc skorzystać z tej metody, R i C są stałymi, a h to krok naszego równania. Rozwiązujemy równanie dostając kolejne wartości napięcia aby uzyskać przybliżony wykres zależności napięcia od czasu dla naszego kondensatora.

W moich obliczeniach przyjmuję krok h=1. Jest to stosunkowo duży krok, jednak pozwoli on nam przy wykreślnym porównaniu metod, będziemy mogli zauważyć która metoda daje wynik bliski dokładnemu. Przyjmując mniejszy krok różnicę między wykresami dostrzeglibyśmy dopiero w dużym przybliżeniu.

Aby łatwiej przeanalizować dokładność różnych metod przygotowałem wykres zależności procentowego błędu względnego w czasie dla różnych metod rozwiązywania równania rozładowywania kondensatora. Możemy z niego wywnioskować, że najdokładniejsze są metody Rungego-Kutty, dla IV rzędu błąd jest prawie niewidoczny. Mało dokładne są metody Eulera, dają po 20 sekundach około 40% błąd.

Rozwiązując równanie w sposób opracowany powyżej, kolejno każdą metodą możemy ostatecznie przedstawić zestawienie wykreślne jak obrazuje rozładowywanie kondensatora każda z metod: