Elementy_analizy_tensorowej_e_0j4v.pdf

(191 KB) Pobierz
Przedmowa
Podręcznik ten jest znacznym rozwinięciem wykładów, jakie w Uniwersyte-
cie Jagiellońskim prowadziłem przez wiele lat dla studentów astronomii i przez
kilka lat dla studentów fizyki. Wielka kariera rachunku tensorowego zaczęła się
z powstaniem teorii względności. Obecnie stał się on niemal uniwersalnym apa-
ratem matematycznym fizyki i wykroczył poza jej właściwy obszar, znajdując
zastosowania w najszerzej pojętej mechanice ośrodków ciągłych. Z tego powo-
du adresuję podręcznik do szerokiego kręgu odbiorców: fizyków, astronomów,
geofizyków oraz studiujących hydrodynamikę i teorię sprężystości (i nie wyróż-
niam teorii względności). Ze względu na to, że adresuję go do czytelników sto-
sujących rachunek tensorowy w rozmaitych działach nauk ścisłych, nie podaję
żadnych zastosowań, każdy bowiem wybór byłby arbitralny i sugerowałby, że
ten obszar zastosowań jest najistotniejszy. Czytelnik sam zorientuje się, gdzie
analizę tensorową należy stosować, np. rozpozna, że gdy równania Newtona
wyrażające drugą zasadę dynamiki zapisze się we współrzędnych krzywolinio-
wych, takich jak sferyczne, to pochodną zwyczajną względem czasu trzeba
zastąpić pochodną absolutną.
Książka ta ma spełniać dwa cele. Po pierwsze, jest podręcznikiem, co uza-
sadnia jej dużą objętość: daję studentowi sporo objaśnień i komentarzy, przez
co treść nie jest zbyt skondensowana. Po drugie, mając podręcznikowy, czy-
telny charakter, jest monografią dla bardziej zaawansowanych użytkowników,
bowiem znaczna część materiału, zwłaszcza w rozdziałach 4, 5 i 6 oraz więk-
szość rozdziału 7, jest tym użytkownikom potrzebna, a zarazem dostępna tylko
w wysoce specjalistycznej literaturze i po polsku ukazuje się po raz pierwszy.
Znaczenie rachunku tensorowego kontrastuje z luką na polskim rynku wy-
dawniczym. Ostatnie książki na ten temat ukazały się ponad czterdzieści lat
temu i są trudno dostępne. Po nich wydano kilka podręczników teorii względ-
ności zaczynających się od zwięzłego wykładu analizy tensorowej ukierunko-
wanego na teorię Einsteina, zwykle niekompletnego — korzystają więc z niego
tylko fizycy relatywiści. Co więcej, klasyczne podręczniki rachunku tensorowe-
go są przestarzałe w sformułowaniu jego podstaw i nie pasują do kursu analizy
matematycznej na politechnikach i uniwersytetach (nauki fizyczne), a tym bar-
10
Przedmowa
dziej odstają od wykładów dla studentów matematyki. To jest główny powód
napisania tego podręcznika.
Rachunek tensorowy jest metodą analityczną geometrii różniczkowej, jest
zatem kwestią konwencji, a przede wszystkim gustu autora, ile w książce bę-
dzie geometrii, a ile samych tensorów. Aby uniknąć nieporozumień, podkre-
ślam, że jest to podręcznik analizy tensorowej, a nie zastosowań geometrii
w naukach fizycznych. O geometrii mówię więc tyle, ile potrzeba, by pokazać
moc i użyteczność tej analizy. Jeśli chodzi o poziom abstrakcji i nowoczesności,
to przyjąłem tutaj etap pośredni między nowoczesną geometrią formułowaną
bez użycia współrzędnych a klasycznym podejściem do tensorów, w którym
wszystko wyraża się za pomocą składowych. Ujęcie klasyczne okazało się, po
niemal stu latach używania tensorów, bardziej praktyczne, lecz trudno w nim
wyrazić, czym właściwie jest tensor i w jakich przestrzeniach istnieje. Tego
dostarcza ujęcie nowoczesne.
Tradycyjnie mówi się, że tensor działa w
n–wymiarowej
przestrzeni Rie-
manna lub przestrzeni niemetrycznej. Chcę pokazać ogromne bogactwo tych
przestrzeni i dlatego przeznaczyłem cały obszerny rozdział na zdefiniowanie
i przedstawienie rozmaitości różniczkowych. Wektor definiuję jako operator
różniczkowy działający w przestrzeni funkcji gładkich na rozmaitości, bo to
pozwala zrozumieć wiele rzeczy i jest naturalne nie tylko dla fizyków zaznajo-
mionych z mechaniką kwantową. Z doświadczenia wiem, że przejście od czy-
sto algebraicznego pojęcia wektora do obiektu geometrycznego w przestrzeni
stycznej sprawia wielu uczącym się trudności i omawiam tę kwestię bardzo
szczegółowo.
Definicje i podstawowe twierdzenia podaję w języku geometrii, natomiast
większość rachunków najprościej jest prowadzić dla składowych tensorów. Cały
wykład algebry i analizy tensorowej prowadzę od podstaw, bez zakładania
jakiejś znajomości przedmiotu u czytelnika.
Styl tej książki różni się od rozpowszechnionego i przez wiele lat modne-
go, suchego i skrajnie lakonicznego stylu prezentacji matematyki nowoczesnej;
w niektórych miejscach tekst może się wydać przegadany. Nie przestrzegałem
również zasady, by jakąś informację podawać tylko raz, jest tu szereg powtó-
rzeń, co z pewnego punktu widzenia jest mniej eleganckie, za to ułatwia lekturę
czytelnikowi. Ponadto niektóre zagadnienia omawiam z paru różnych punktów
widzenia, np. przestrzeń izotropową definiuję i opisuję na trzy różne sposoby,
a potem jej własności wyrażam jeszcze za pomocą wektorów Killinga.
Wielkim nieobecnym są tu formy różniczkowe. Wywodzą się z rachunku
tensorowego, a obecnie są niezależnym i rozbudowanym aparatem geometrii
różniczkowej, mającym szerokie zastosowania w całej matematyce i fizyce.
Umieszczanie ich w książce o analizie tensorowej byłoby więc niewłaściwe,
nie mówiąc o tym, że ogromnie powiększyłoby jej objętość. Formy różniczko-
we w
R
n
są obecnie przedstawione w standardowych podręcznikach z analizy
matematycznej, a dla form na rozmaitościach istnieje znakomita książka Flan-
Kup książkę
Przedmowa
11
dersa, która zupełnie się nie zestarzała, mimo że została napisana w 1963 r.
(polskie wydanie ukazało się w 1969 r.). W konsekwencji zrezygnowałem z po-
dawania twierdzeń całkowych, które obecnie formułuje się za pomocą form róż-
niczkowych. Zrezygnowałem również z języka wiązek, gdyż poza samą geome-
trią ich praktyczne zastosowania są niewielkie. Sporo miejsca za to poświęcam
pochodnej Liego ze względu na jej związek z wielkościami zachowywanymi.
Dla profesjonalnego matematyka przedstawiony tu wykład jest momentami
zbyt drobiazgowy, ogólnie za mało zalgebraizowany i za mało ścisły. Ze ścisło-
ści zrezygnowałem świadomie tam, gdzie przysłania jasność wywodu i gdzie
fachowiec jest w stanie bez trudu ją przywrócić. Przyjmuję też za intuicyjnie
oczywiste istnienie pewnych obiektów i ich własności tam, gdzie matematyk
niebanalnym rozumowaniem tego istnienia dowodzi. Starałem się natomiast,
w miarę możności, przestrzegać ścisłości w kwestiach, gdzie intuicja zawodzi:
w konstruowaniu rozmaitości różniczkowych, definiowaniu wektorów, odwzoro-
wań stycznych i pochodnej Liego oraz paru innych miejscach. Chcę dać czytelni-
kowi rozumienie, a nie tylko technikę rachunkową. Być może i dla matematyka
interesujące będzie zobaczyć, jak wiele można zasadnie osiągnąć za pomocą
niewielkiej tylko części potężnego aparatu abstrakcyjnej geometrii różniczkowej.
Zakładam, że czytelnik zna analizę matematyczną w przestrzeni euklide-
sowej na poziomie standardowego wykładu na politechnice lub uniwersytecie
na kierunkach ścisłych (lecz nie na matematyce); przede wszystkim znajomość
rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych i podawanych w ramach ta-
kiego wykładu najbardziej elementarnych pojęć topologii. Zakładam, że ma
standardową wiedzę z algebry liniowej: macierze, wyznaczniki, układy równań
liniowych, przestrzenie liniowe i ich odwzorowania. Zadań jest niewiele, poda-
ję natomiast sporo szczegółowo przeliczonych przykładów i czytelnik może je
traktować jak zadania rozwiązane.
Pragnę podziękować przede wszystkim dr Wojciechowi Jurczakowi, Mar-
cinowi Sobocińskiemu i Dorocie Krochmalczyk, lekarzom z Kliniki Hematolo-
gii Uniwersytetu Jagiellońskiego. Bez ich aktywnego działania ta książka na
pewno nie powstałaby. Miłym obowiązkiem jest wyrażenie wdzięczności za
wyjaśnienia i wskazówki matematykom z Uniwersytetu Jagiellońskiego, Zofii
Denkowskiej i Adamowi Janikowi oraz Zdzisławowi Pogodzie, który objaśniał
mi zawiłości klasyfikacji rozmaitości i podawał materiały o historii geometrii.
Andrzejowi Derdzińskiemu z Ohio State University zawdzięczam informacje
o przestrzeniach, do których stosuje się twierdzenie Bochnera. Wyrazy podzię-
kowania kieruję do obu recenzentów, których uwagi umożliwiły mi usunięcie
szeregu niedostatków tekstu. Na koniec pragnę docenić starania żony, która
wielokrotnie wymuszała poprawienie stylu i jasności wykładu.
Uniwersytet Jagielloński
i Centrum Kopernika
Badań Interdyscyplinarnych,
Kraków, styczeń 2010 r.
Kup książkę
1. Preliminaria
1.1. Przestrze´ i czasoprzestrze´ w matematyce
n
n
Najważniejszą przestrzenią, z jaką wszyscy mamy do czynienia, jest czaso-
przestrzeń. Najbardziej elementarnym i niezbędnym składnikiem opisu dowol-
nego zjawiska fizycznego jest podanie, gdzie i kiedy zaszło. Zbiór wszystkich
miejsc i momentów zdarzeń, które traktujemy jako punktowe, czyli nie przy-
pisujemy im rozciągłości przestrzennej ani czasowej, tworzy
czasoprzestrzeń.
Intuicja psychologiczna i tradycja kulturowa odróżniają czas od przestrzeni.
Czas to następstwo zdarzeń, natomiast przestrzeń jest zbiorem równoczesnych
położeń wszelkich ciał materialnych, przy czym istotne są tylko wzajemne re-
lacje tych położeń, niezależne od fizycznych własności ciał. Dopiero nowożytna
fizyka wykazała istnienie głębszego, a nie tylko powierzchownego związku czasu
i przestrzeni i pomimo intuicyjnej odrębności złączyła je w jeden obiekt fizycz-
ny. Według teorii względności czas i przestrzeń są jedynie pewnymi aspektami
tego obiektu, który matematycznie modelowany jest za pomocą czasoprze-
strzeni, a ta jest pewnego rodzaju przestrzenią matematyczną. W tej książce
będziemy stosować jednolite podejście do wszystkich przestrzeni i tylko tam,
gdzie jest to konieczne, będziemy wskazywać odmienność czasoprzestrzeni od
pozostałych przestrzeni używanych w matematyce i innych naukach ścisłych.
Fizyczna przestrzeń, którą postrzegamy zmysłami, stała się prototypem
bardzo ogólnego i fundamentalnego dla całej matematyki pojęcia przestrze-
ni abstrakcyjnej. Najbliższa intuicji jest
przestrzeń euklidesowa
E
n
, o której
przez długi czas sądzono, że jest jedyną możliwą przestrzenią w geometrii,
a w przypadku trzech wymiarów przedstawia przestrzeń fizyczną. Dopiero
w XIX wieku pojawiły się przestrzenie nieeuklidesowe. Z algebry znane jest
pojęcie przestrzeni liniowej, czyli wektorowej. Jej elementami nie są punkty
pojmowane geometrycznie, lecz wektory określone jedynie własnościami al-
gebraicznymi — mogą to zatem być bardzo odmienne obiekty matematycz-
ne. Ten fundamentalny fakt, że z punktu widzenia algebry wektor nie musi
być strzałką łączącą dwa punkty w
E
n
, sprawił, że w analizie matematycznej
wprowadzono bardzo ważne pojęcie
przestrzeni funkcyjnej
, której elementa-
Kup książkę
14
1. Preliminaria
mi (wektorami) są funkcje o określonych własnościach, np.
L
2
(a,
b)
jest prze-
strzenią liniową funkcji rzeczywistych całkowalnych z kwadratem na odcinku
[a,
b]
osi liczbowej. W ten sposób powstała analiza funkcjonalna, w której bada
się abstrakcyjne przestrzenie wektorowe mające nieskończenie wiele wymiarów
i niedające się przedstawić graficznie.
Uogólnienie pojęcia przestrzeni poszło nie tylko w kierunku wektorowych
przestrzeni funkcyjnych. Drugi kierunek, który nas tu bardziej interesuje, wy-
chodzi ze spostrzeżenia, iż przestrzeń euklidesowa jest przestrzenią liniową,
a powierzchnie w
E
3
— takie jak sfera, torus, elipsoida, hiperboloida itp. —
przestrzeniami wektorowymi już nie są. (Suma dwóch wektorów na płaszczyź-
nie jest wektorem leżącym na niej, natomiast nie jest wcale oczywiste, jak
zdefiniować wektory leżące na sferze. Gdyby sferę zdefiniować w
E
3
jako zbiór
wektorów jednakowej długości zaczepionych w jej środku, to suma dwu takich
wektorów wyjdzie poza nią). Tradycyjnie do czasów Riemanna powierzchnie
i hiperpowierzchnie (czyli powierzchnie o wymiarze wyższym niż 2) pojmowa-
no jako podzbiory przestrzeni euklidesowej
E
n
. Takie ujęcie zwykle nie jest
najwygodniejsze w konkretnych rozważaniach, a nawet okazało się utrudnie-
niem w badaniach pewnych przestrzeni. Mocnym argumentem przeciwko te-
mu ujęciu jest einsteinowska ogólna teoria względności: według niej fizyczna
czasoprzestrzeń może być modelowana jako 4–wymiarowa hiperpowierzchnia
w pewnej 10–wymiarowej przestrzeni wektorowej (przestrzeni Minkowskiego),
lecz ta zanurzająca ją przestrzeń fizycznie nie istnieje. Czasoprzestrzeń istnie-
je fizycznie sama w sobie, jako samodzielna przestrzeń geometryczna, nie zaś
jako hiperpowierzchnia w przestrzeni o większej liczbie wymiarów. Na potrze-
by zarówno fizyki, jak i samej geometrii podano ogólną definicję przestrzeni
geometrycznej, która nie jest liniowa i która traktuje wszystkie możliwe (zna-
ne i nieznane) hiperpowierzchnie w
E
n
jako samodzielne przestrzenie, i ściśle
ujmuje to, co intuicyjnie nazywamy powierzchnią zakrzywioną.
Najogólniejszego, dającego fundament dla niemal całej matematyki poję-
cia przestrzeni dostarcza topologia. Wprowadza ona
przestrzeń topologiczną,
będącą rodziną (zbiorem) zbiorów otwartych. Wszystkie przestrzenie liniowe
w algebrze, funkcyjne w analizie i „geometryczne” w geometrii są przestrze-
niami topologicznymi. Ponieważ wybór zbiorów otwartych w danym zbiorze
punktów jest w dużej mierze arbitralny, różnice między odmiennymi prze-
strzeniami topologicznymi mogą być ogromne. Spośród nich wybieramy klasę,
dość wąską z punktu widzenia topologii, tych przestrzeni, które lokalnie są
homeomorficzne
1
z kawałkami przestrzeni
R
n
; z punktu widzenia zastosowań
w samej matematyce i naukach przyrodniczych klasa ta jest bardzo szeroka.
Są to
rozmaitości różniczkowe
(różniczkowalne). One właśnie są „przestrze-
niami”, w których będziemy uprawiać analizę tensorową. Jeden z głównych
programów badawczych fizyki dotyczy sformułowania fundamentalnych teorii
fizycznych na odpowiednich rozmaitościach różniczkowych. Rozmaitościami są
1
Homeomorfizm
definiujemy w podrozdz. 1.5.
Kup książkę

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin