Elementy_teorii_operatorow_na_przestrzeni_Hilberta_e_0qrg.pdf

(71 KB) Pobierz
Wstęp
Teoria operatorów na przestrzeni Hilberta stanowi jedno z wielkich osią-
gnięć analizy funkcjonalnej i znajduje zastosowania w niezliczonych działach
matematyki i fizyki. Tematyka ta jest także punktem wyjścia dla fascynu-
jących uogólnień takich jak teoria
C
˚
-algebr, algebr von Neumanna, a także
nieprzemienna geometria i wiele innych gałęzi współczesnej matematyki.
Niniejsza książka oparta jest na rozszerzonej wersji notatek do wykładu
prowadzonego przez autora na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskie-
go, a w konsekwencji jej podstawowymi celami są:
‚
przedstawienie kanonu wiedzy z zakresu teorii operatorów na przes-
trzeniach Hilberta wraz z kompletnymi i możliwie bezpośrednimi do-
wodami,
‚
przygotowanie czytelnika do dalszych studiów zarówno samej teorii ope-
ratorów, jak i teorii algebr operatorów (C
˚
-algebr i algebr von Neu-
manna).
Ocena stopnia realizacji pierwszego z powyższych celów zależy od tego, co
uznamy za kanon wiedzy na temat operatorów na przestrzeniach Hilberta.
Faktem jest, że pewne fragmenty tej teorii zostały z premedytacją pominięte
– także po to, aby książka nie zamieniła się w opasły tom. Ważniejszym
jednak powodem okrojenia materiału do niezbędnego minimum jest istnienie
ogromnej ilości wspaniałych monografii i podręczników, które pokrywają
znacznie większy zakres materiału z omawianej dziedziny (np. [AkGl, Kat,
ReSi
1
,
ReSi
2
] i szczególnie [Mau]). Jednak studiowanie ich może okazać się
dość trudnym wyzwaniem, do którego dobrym przygotowaniem może być
lektura niniejszej książki.
Materiał podzielony jest na dwie główne części. Pierwsza z nich poświę-
cona jest operatorom ograniczonym, a druga – operatorom nieograniczonym.
W pracy z tymi ostatnimi zastosowaliśmy nowe i bardzo użyteczne narzędzie
wprowadzone do literatury światowej przez S.L. Woronowicza. Jest to tak
zwana
z-transformata
operatora domkniętego. Wyprzedzając szczegółowe
wprowadzenie
z-transformaty
w rozdziale 9, powiemy, iż jest ona formą za-
kodowania pełnej informacji o domkniętym i gęsto zdefiniowanym operatorze
na przestrzeni Hilberta w operatorze ograniczonym na tej przestrzeni. Co
10
WSTĘP
więcej, pozwala ona na łatwe i eleganckie uzyskanie wielu ważnych wyników
teorii.
Spośród wspaniałych podręczników umieszczonych w spisie literatury na
końcu książki większość oferuje wykład rozwijający najpierw pewne frag-
menty teorii algebr Banacha i
C
˚
-algebr, a następnie wyprowadzający z nich
najważniejsze twierdzenia teorii operatorów, a dokładniej wszelkie wersje
twierdzenia spektralnego. Oznacza to jednak, iż czytelnik musi najpierw
zmierzyć się z dość wyrafinowaną analizą funkcjonalną, aby potem zas-
tosować ją w konkretnych przypadkach pochodzących z teorii operatorów.
Filozofia wykładu zawartego w niniejszej książce jest inna: teoria spektralna
operatorów samosprzężonych (ograniczonych i nieograniczonych) jest przed-
stawiona bez głębokiego zanurzania się w teorię algebr Banacha. Warto
pamiętać, że właśnie teoria algebr Banacha (w tym
C
˚
-algebr i algebr von
Neumanna) stanowi naturalne uogólnienie teorii operatorów na przestrze-
niach Hilberta. Dlatego też algebry Banacha, które pojawiają się w różnych
fragmentach książki, grają rolę ciekawych przykładów, a nie kluczowych
narzędzi.
1
W nadziei autora takie podejście do teorii operatorów stanowi
choć częściową realizację drugiego z wymienionych powyżej celów książki.
Ponieważ książka ma stanowić niezbyt obszerne kompendium – czy może
poradnik – teorii operatorów, wykład został celowo pozbawiony ćwiczeń
i przykładów. Na końcu każdego rozdziału znajdują się notatki wskazujące
pozycje literatury, w których można znaleźć doskonałe przykłady i ćwicze-
nia z omawianych działów. Dodatkowo umieszczamy tam czasem krótkie
informacje o możliwych uogólnieniach i wycieczki w bardziej wyrafinowane
tematy.
Wykłady, na których oparta jest koncepcja książki były przeznaczone dla
studentów, którzy mieli już za sobą kursy analizy matematycznej (z teorią
całki), algebry liniowej i tak zwany kurs „Analizy Funkcjonalnej I”. Ten
ostatni wykład obejmuje zazwyczaj podstawy teorii przestrzeni Banacha,
w tym liczne informacje na temat przestrzeni Hilberta. W szczególności
zakładamy znajomość:
‚
podstawowej analizy matematycznej i algebry liniowej,
‚
podstaw topologii ogólnej (pojęcia przestrzeni lokalnie zwartej, ciągu
uogólnionego i jego granicy, twierdzenia Stone’a–Weierstrassa),
‚
elementarnej analizy zespolonej jednej zmiennej (pojęcia holomorficz-
ności, wzoru Cauchy’ego, twierdzenia Liouville’a) i wielu zmiennych
(pojęcia holomorficzności i wielowymiarowego wzoru Cauchy’ego),
‚
teorii miary i całki (w szczególności twierdzenia o zbieżności zmajory-
zowanej, miar produktowych i twierdzenia Fubiniego, miar zespolonych,
1
Wyjątkiem jest rozdział 7, w którym korzystamy z kilku podstawowych elementów teorii
C
˚
-algebr szczegółowo opisanych w uzupełnieniu U.5.2.
Kup książkę
WSTĘP
11
wariacji miary, twierdzenia Radona–Nikodyma, twierdzenia Riesza o re-
prezentacji),
‚
pojęcia przestrzeni Banacha i przestrzeni Hilberta, przestrzeni
L
p
, ope-
ratora ograniczonego i normy operatorowej, otwartości zbioru operato-
rów odwracalnych,
‚
lematu Riesza (czyli twierdzenia o reprezentacji ciągłego funkcjonału
na przestrzeni Hilberta) i związku ograniczonych form półtoraliniowych
i operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta, pojęcia operatora
sprzężonego do ograniczonego operatora na przestrzeni Hilberta.
Będziemy także używać pojęcia całki z funkcji ciągłej na zwartym przedziale
o wartościach w przestrzeni Banacha. Jest to zagadnienie omawiane zapewne
na każdym kursie równań różniczkowych. W wersji znacznie ogólniejszej
teoria takich całek przedstawiona jest np. w książce [Rud
2
].
Praktycznie każde z powyższych zagadnień należy do standardowego
kursu analizy, analizy zespolonej i teorii miary. Podręczniki takie jak [ReSi
1
,
Rud
1
] obejmują znakomitą większość z nich. Dla wygody czytelnika w uzu-
pełnieniach zebraliśmy kilka najpotrzebniejszych wyników (w tym klasyczne
twierdzenia analizy funkcjonalnej takie jak twierdzenie Banacha–Steinhausa,
twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, czy twierdzenie o wykresie domknię-
tym) z możliwie krótkimi i nowoczesnymi dowodami.
Wszystkie rozważane przestrzenie wektorowe będą nad ciałem liczb ze-
spolonych. Będziemy również stosować pewne konwencje notacyjne znane
z literatury fizycznej. W szczególności iloczyn skalarny (oznaczany sym-
bolem
x¨ ¨y)
będzie zawsze liniowy w
drugim
argumencie. Ponadto będziemy
używać bardzo wygodnej notacji „bra” i „ket”, którą pokrótce wyjaśnimy.
Niech
H
będzie przestrzenią Hilberta. Wówczas każdy wektor
ψ
P
H
wyz-
nacza dokładnie jedno odwzorowanie liniowe
C
Ñ
H
przeprowadzające
1
P
C
na
ψ
P
H.
Oznaczamy je symbolem
ψy.
Teraz rozważmy na
C
standardową strukturę przestrzeni Hilberta (czyli
taką, przy której
t1u
jest bazą ortonormalną). Możemy wówczas rozważyć
odwzorowanie sprzężone
ψy
˚
do
ψy,
które jest ograniczonym funkcjonałem
na
H
przeprowadzającym dowolny wektor
ϕ
na liczbę
xψ
ϕy
P
C.
Odwzoro-
wanie to oznaczamy symbolem
xψ
. W szczególności złożenie
xψ
1
˝
ψ
2
y
jest
odwzorowaniem liniowym
C
Ñ
C
polegającym na mnożeniu przez skalar
xψ
1
ψ
2
y,
natomiast złożenie
ψ
2
y ˝ xψ
1
(zapisywane jako
ψ
2
y xψ
1
) jest od-
wzorowaniem
H
Ñ
H
przeprowadzającym dowolny
ϕ
P
H
na
xψ
1
ϕy ψ
2
.
Ważnym wzorem znanym z teorii przestrzeni z iloczynem skalarnym,
z którego będziemy intensywnie korzystać jest
formuła polaryzacyjna.
Ma
ona najróżniejsze – czasem całkiem wyrafinowane – sformułowania, lecz
my skorzystamy z następującej prostej wersji: niech
F
będzie formą pół-
toraliniową (antyliniową względem pierwszego argumentu) na przestrzeni
Kup książkę
12
WSTĘP
wektorowej
H.
Wówczas
F
pξ,
ηq
“
1
4
3
ÿ
k“0
i
k
F
pη `
i
k
ξ, η
`
i
k
ξq,
ξ, η
P
H.
Materiał książki jest w miarę możliwości zorganizowany w sposób li-
niowo uporządkowany, tj. kolejny rozdział korzysta z wyników poprzed-
niego. Wyjątkami są przede wszystkim rozdział 6 poświęcony pojęciu śladu
operatora i rozdział 7 omawiający rachunek funkcyjny dla rodzin operato-
rów samosprzężonych i dla operatorów normalnych. Wyniki tych rozdzia-
łów nie są wykorzystywane w dalszych częściach książki. Kolejny wyjątek
stanowi rozdział 10 poświęcony teorii spektralnej operatorów nieograniczo-
nych. Wyniki tam przedstawione są potrzebne dopiero w rozdziale 12.
Jak już wspomnieliśmy, w części 3 zgromadzony został dodatkowy mate-
riał potrzebny w różnych fragmentach kursu. Pierwszym umieszczonym tam
wynikiem jest twierdzenie Banacha–Steinhausa (uzupełnienie U.1), z którego
korzystamy od samego początku książki. Z kolei twierdzenie Dynkina o
π-
i
λ-układach
umieszczone w uzupełnieniu U.2 wykorzystujemy w rozdziale
4, a informacje o iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta (uzupełnienie
U.3) są potrzebne w rozdziale 6 (dokładniej w podrozdziale 6.3). Twierdze-
nie o wykresie domkniętym (umieszczone w uzupełnieniu U.4) potrzebne jest
w całej części 2. Wreszcie uzupełnienie U.5 poświęcone ilorazom przestrzeni
Banacha i
C
˚
-algebr zawiera wyniki potrzebne we wspomnianym powyżej
rozdziale 7.
Pragnę podziękować mojemu mistrzowi profesorowi Stanisławowi L. Wo-
ronowiczowi za lata pracy, w czasie których przekazał mi część swojej wiedzy
na temat operatorów na przestrzeniach Hilberta. Dziękuję również kolegom,
współpracownikom i studentom z Katedry Metod Matematycznych Fizyki
Wydziału Fizyki oraz z Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uni-
wersytetu Warszawskiego, w tym szczególnie Katarzynie Budzik, Pawłowi
Czajce, Janowi Derezińskiemu, Danielowi Siemssenowi i Pawłowi Strzelec-
kiemu, za cenne uwagi i rady dotyczące materiału zawartego w książce.
Piotr Mikołaj Sołtan
Warszawa, luty 2017
Kup książkę

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin