Liczby zespolone:
dodawane <a,b> + <c,d> = <a+c,b+d>
mnożenie <a,b> x <c,d> = <ac+bd,bc+ad>
niezmiennik dodawania <0,0>
niezmiennik mnożenia <1,0>
dzielenie ( mnożenie przez odwrotność )<a,b> ◦ <x,y> = <1,0> x=aa2+b2 y=-ba2 + b2
i= -1i2 = -1
i3 = -i
i4 = i
postać trygonometryczna
Z=|z|<cos ρ, sin ρ>
z= a2+b2
az=cos ρ
bz=sin ρ
Zn = |z|n <cos n ρ, sin n ρ>
Sin (α+β) = sinαcosβ + sinβcosα
Cos (α+β) = cosαcosβ – sinαsinβ
Sin 2α = 2 sinαcosα
Cos 2α = cos2α – sin2α
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
1) nZ=Zk= n|z|<cosρ+2kπn,sinρ+2kπn>
k = 0,1,2,3… (n-1)
Lub
2) nZ=Zk=Z0<cos2πkn, sin2πkn>
Zo – znany pierwiastek
k = 1,2,3,4…(n-1)
a2+ b2= a2-bi2=a-bia+bi
Macierze:
-143012143 x 140-12140-3 = 74-572-5712-11
(-1)∙1 +4∙(-1)+3+4 = 7
100010001 <--- macierz jednostkowa
Metoda Sarrusa tylko do macierzy 3x3 – przepisać 2 wiersze, liczby mnożymy, z prawej dodajemy, z lewej odejmujemy.
Metoda Laplace’a – według wiersza lub kolumny, wybieramy kolumnę, zgodnie z szachownicą znaków, wyliczamy małe wyznaczniki.
Macierz odwrotna:
1. Wyznacznik Główny
2. Macierz minorów ( wyznaczniki)
3. Macierz dopełnień ( szachownica znaków)
4. Macierz Transponowana (kolumny na wiersze)
5. Macierz odwrotna ( dzielona przez wyznacznik)
Metoda Przekształceń elementarnych – przyrównanie do macierzy jednostkowej. kolejność: 178249356
Rozwiązywanie równań:
Metoda Eliminacji – zapisanie układu równań w postaci macierzy
xy| 56| 82| z92
Możemy zamieniać wiersze i kolumny pamiętając o tym która jest która.
Twierdzenie Kroneckera-Capellego –określenie ilości rozwiązań równanie macierzowego. R- rząd macierzy kwadratowej, N – niewiadome, M –równania
Jest rozwiązanie gdy R1=R2
N=R – 1 rozwiązania
N>R nieskończenie wiele zależne od N-R parametrów.
Metoda Cramera – zapis równań w macierzy i liczenie wyznaczników.
Warunki:
1. Wx=0 , W=0 nieskończenie wiele
2. Wx ≠0 , W=0 brak
3. W≠0 jedno rozwiązaniex= WxW
Wielomiany:Wn(x)wielomianPk(x)dzielnik=Hn-kx wynik Reszta= Qk-1(x)
Wnx...
paaadrona