matura-matematyka Powtórka.pdf

(1199 KB) Pobierz
5
Powtórzenie
5. Powtórzenie
137
5.1. Liczby rzeczywiste
Zbiór
liczb rzeczywistych
oznaczamy literą
R.
Liczby naturalne
to liczby: 0, 1, 2, 3,
. . .
Zbiór liczb naturalnych ozna-
czamy literą
N.
Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki
(1 i samą siebie), nazywamy
liczbą pierwszą.
Początkowe liczby pierwsze:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
. . .
Liczby całkowite
to liczby naturalne dodatnie: 1, 2, 3, 4,
. . .,
liczby do nich
przeciwne:
−1, −2, −3, −4,
. . .
oraz liczba 0. Zbiór liczb całkowitych ozna-
czamy literą
C.
Liczby wymierne
to liczby, które można przedstawić w postaci ułamka
m
,
n
gdzie
m, n
∈
C
oraz
n
= 0. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą
W.
Każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego
skończonego
lub
nieskończonego okresowego.
Liczby niewymierne
to liczby rzeczywiste, które nie są wymierne. Zbiór
liczb niewymiernych oznaczamy przez
NW.
Potęga o wykładniku całkowitym
a
0
= 1 dla
a
= 0
a
−1
=
a
−n
=
1
a
1
a
n
dla
a
= 0
dla
a
= 0,
n
∈
N
Potęga o wykładniku wymiernym
√
1
a
n
=
n
a
dla
a
0,
n
∈
N,
n >
1
√
m
m
dla
a >
0,
n
∈
N,
n >
1,
a
n
=
n
a
m
∈
C
Działania na potęgach
Dla dowolnych liczb
a, b >
0 i
x, y
∈
R:
a
x
·
a
y
=
a
x+y
a
x
=
a
x−y
y
a
(a ) =
a
x y
x·y
a
x
·
b
x
= (ab)
x
a
a
x
=
b
x
b
x
Działania na pierwiastkach
√
√ √
a
·
b
=
a
·
b
dla
a, b
0
√
a
a
=
√
dla
a
0,
b >
0
b
b
Wzory skróconego mnożenia
(a +
b)
2
=
a
2
+ 2ab +
b
2
(a
−
b)
2
=
a
2
−
2ab +
b
2
√
√ √
3
3
a
·
b
=
3
a
·
b
dla
a, b
∈
R
√
3
a
a
3
=
√
dla
a
∈
R,
b
= 0
3
b
b
a
2
−
b
2
= (a
−
b)(a
+
b)
138
5. Powtórzenie
Zestaw I – wprowadzający
1.
Wyznacz liczby:
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
, które zaznaczono na osi liczbowej (odle-
głości między sąsiednimi punktami są jednakowe).
a)
1
4
Odpowiedzi do zadań
1.
a)
x
1
=
x
3
=
x
3
=
3
,
10
19
,
80
4
,
15
17
,
80
x
2
=
19
60
17
,
60
9
,
40
x
4
=
x
4
=
x
1
x
2
x
3
x
4
1
3
X
b)
1
5
x
1
x
2
x
3
1
4
x
4
X
b)
x
1
=
x
2
=
21
80
2.
Przedstaw liczbę w postaci
a
m
, gdzie
m
jest liczbą całkowitą.
√ √ √
5
c) 0,4
7
·
2,5
−4
:
2
e) 2
·
3
2 : 8
a) 0,125
3
·
32
−2
5
√
2
4
1 5
d) 0,64
5
: 1,25
−4
·
0,8
−2
f) 9
3
·
27
2
b)
27
: 81
3,25
3.
Oblicz.
a) 7
3
·
7
−4
: 7
−2
b)
3
−4
:
−14
1 2
3
2.
a)
0,125
3
·
32
−2
=
= 2
−9
·
2
−10
= 2
−19
b)
=3
=
=
=
1 5
: 81
3,25
=
27
−15
13
−28
:3
=3
:
:
c)
0, 4
·
2, 5
7
−4
d) 125
3
·
5
−4
: 25
2
·
0,2
−3
1
−1
3
·
e) 1,42
3
: (−0,71)
3
·
0,5
3
f) (27
·
0,008) + (16
·
0,09) : 36
1
3
1
2
1
2
d)
0, 64 : 1, 25
4 10
5
4 4
5
1
4
2 7
·
2
5
5
5
2 5
=
5
5
6
2
=
2
5
5
−4
−2
·
0, 8
=
c) 0,6
·
−16
1
2
3
:
1
4 4
5
·
4
−2
5
=
4.
Oblicz. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.
a)
b)
c)
1,75 + 0,5
·
(
2
)
3
1
3
12
−
3
·
(
2
)
3
−1
2
d)
e)
f)
5
6
+ 20
·
5
4
2
·
5
6
−
100
·
5
3
6
·
4
−
8
·
4
2
·
8
2
−
5
·
2
6
2
3
e)
2
2
·
2
3
: 2
2
= 2
−
3
=
√
−2
1
2
= 2
−
3
=
3
2
f)
3
3
·
3
4
= 3
= 3
6
1
4
6
17
6
3
2
=
17
2,2
·
10
+ 0,6
·
(0,9)
−1
11
3
−2
·
2
1
−
1,75
2
4
17
( )
·
(
)
=
1
3
√
6
3
2
·
(
4
−1
)
( )
8
2
−1
+
5
1
−2
−
3
3,5
( )
17 0
19
( )
2
−2
·
3
1
3
−7
·
(0,3)
2
7
·
(
−5
1 3
4
3.
a)
7
b)
d)
4.
a)
0,5
1
25
2,5
7
4
c)
9
25
1
0
+
)
e)
−1
f )
0,8
=
10
7
5.
Oblicz. Wynik przedstaw w notacji wykładniczej.
a) 6
·
10
·
5,5
·
10
7
c) 0,0000125
·
0,00004
d) 0,0000027 : 0,00009
e) (0,81
·
0,0004)
f) (245 : 0,0005)
b)
c)
2
2
3
4
·
1
9 2
8,5
1
·8
4
6
= 12
=
17
4
5
b) (4
·
10 ) : (8
·
10 )
5
−6
0,5
= 4,25
5
5
·(5+4)
5
5
·(2·5−4)
6.
Podaj rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego. Zaokrąglij je do trzeciego
miejsca po przecinku. Czy jest to przybliżenie z nadmiarem, czy z niedo-
miarem?
a)
85
6
5 +4·5
d)
2·5
6
−4·5
5
=
= 1,5
=
=
e)
=
f)
b)
85
8
c)
62
33
d)
11
111
3·2
5
−2
9
2
7
−5·2
6
13
6
9
100
3
4
=
3
25
2
5
·(3−2
4
)
2
5
·(2
2
−5·2)
=
7.
Liczba 17,7828 jest przybliżeniem liczby 10
1,25
z dokładnością do czterech
miejsc po przecinku. Wiedząc o tym, wyznacz przybliżenie liczby:
a) 10
0,25
z dokładnością do czterech miejsc po przecinku,
b) 10
4
z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku,
c) 10
7
−
4
13
5.
a)
3,3
·
10
16
b)
5
·
10
10
c)
5
·
10
−10
d)
3
·
10
−2
e)
1,8
·
10
−2
f )
7
·
10
2
6.
a)
14,167, z nadmiarem
b)
10,625, wartość
dokładna
c)
1,879, z nadmiarem
d)
0,099, z niedomiarem
z dokładnością do pięciu miejsc po przecinku.
7.
a)
10
1,25
: 10 = 1,7783
b)
10
3,25
= 10
1,25
·
10
2
= 1778,28
c)
10
1,25
: 10
3
= 0,01778
5.1. Liczby rzeczywiste
139
√
√
√
8.
a)
6 2
b)
7 2
c)
5
3
4
√
√
d)
4
3
2
e)
5
3
5
9.
a)
15
b)
24
c)
−3
d)
1
g)
5
h)
9
3
4
√
√
√
10.
a)
3 3 + 12 3
−
15 3 =
= 0, tak
√
√
b)
48 + 12 =
√
√
√
=4 3+2 3=6 3 =
√
√
= 108 = 50, nie
√
√
√
c)
3
3 + 2
3
3
−
3
3
3 = 0,
tak
√
√
d)
5 12
·
75 = 150, tak
√
√
√
e)
2 6
−
5 6 + 3 6 :
√
: 2 3 = 0, tak
e)
f)
13
3
5
2
8.
Wyłącz czynnik przed pierwiastek.
√
√
√
b) 98
c)
3
500
a) 72
9.
Oblicz.
√ √
a) 5
·
45
√
√
b) 48
·
12
√ √
3
3
·
3
−9
√
√
d)
3
0,04
·
3
25
c)
18
7
9
3
d)
√
3
128
e)
11
2
:
3
3
√
3
625
4
1
5
e)
f)
g)
h)
15
5
8
1
1
·
8
3
10
1
8
10.
Sprawdź, czy poniższa równość jest prawdziwa.
√
√
√
√
√
√
d) (7 12
−
48)
·
75 = 150
a) 27 + 3 48
−
3 75 = 0
√
√
√
√
√
√
√
e) ( 24
−
150 + 54) : 12 = 0
b) 48 + 12 = 50
√
√
√
f)
3
−8
1
:
3
−5
1
= 1
1
c)
3
3 +
3
24 +
3
−81
= 0
6
7
6
√
2
√
d) 1
−
2 2 9 + 4 2
√
2
√
2
e) 3 + 7
−
3
−
7
√
√
2
√
√
f) 2 2
−
3 + 2 3 + 2
11.
Oblicz.
√
√
a) 3 2
−
4 3 2 + 4
7
√
√
f )
3
49
·
36
=
7
= 1
1
, tak
6
6
6
b) 3 + 2 5 3
−
2 5
√
2
√
11.
a)
2
b)
−11
c)
1
√
c) 2 + 3 7
−
4 3
d)
49
e)
12 7
f )
25
12.
a)
4
b)
140
c)
40
d)
26
2
12.
Wyznacz:
a) 2,5% liczby 160,
b) 112% liczby 125,
c) liczbę, której 45% jest równe 18,
d) liczbę o 225% większą od 8.
13.
x
– początkowa cena
towarów
a)
A:
0,8
·
0,8x = 0,64x,
B:
0,6x;
B
b)
A:
1,2
·
1,2x = 1,44x,
B:
1,4x;
B
c)
A:
0,8
·
1,2x = 0,96x,
B: x; A
13.
Towary
A
i
B
miały jednakową cenę. Który z nich jest obecnie tańszy,
jeżeli:
a) cenę towaru
A
obniżano dwukrotnie, za każdym razem o 20%, a cenę
towaru
B
obniżono jednokrotnie o 40%,
b) cenę towaru
A
zwiększano dwukrotnie, za każdym razem o 20%, a cenę
towaru
B
zwiększono jednokrotnie o 40%,
c) cenę towaru
A
obniżono o 20%, następnie zwiększono o 20%, a cena
towaru
B
nie uległa zmianie?
14.
Dany jest prostokąt o bokach długości
a
i
b.
Jak i o ile zmieni się jego pole,
jeżeli:
a)
a
wzrośnie o 20% i
b
zmaleje o 20%,
b)
a
zmaleje o 20% i
b
wzrośnie o 25%?
15.
W prostokącie jeden bok wydłużono o 20%, a drugi o
p%
i otrzymano
prostokąt, którego pole jest o 50% większe od wyjściowego. Oblicz
p.
15.
a, b
– długości boków
1+
p
100
14.
a)
1,2a
·
0,8b = 0,96ab
Pole zmaleje o 4%.
b)
0,8a
·
1,25b =
ab
Pole nie zmieni się.
a
·
1,2b = 1,5ab
p
= 25
140
5. Powtórzenie
Zestaw II – podsumowujący
16.
Usuń niewymierność z mianownika.
2
a)
√
5
−
2
√
√
6
c)
√ √
3
−
2
√
5− 3
√
d)
1+ 3
√
√
16.
a)
2 5 + 4
b)
2
−
1
√
√
c)
3 2 + 2 3
d)
=
√
5−
√
3
1+ 3
√
8−6 3
−2
b)
2+
2
√
=
2
√
=3 3
−
4
√
5−
√
3
1+ 3
·
√
1−
√
3
1− 3
=
17.
Oblicz wartość
√
wyrażenia dla
x
= 2
−
w postaci
a
+
b
5, gdzie
a, b
∈
W.
a) 3x +
y
b)
x
·
y
√
√
5 i
y
= 1 + 3 5. Wynik zapisz
d)
2y−x
2x+y
17.
a)
7
c)
y
:
x
18.
Oblicz wartość wyrażenia dla
a
=
a)
a
·
b
b) (a
−
b)
2
√
√
√
√
3
−
2 i
b
= 3 + 2.
1
1
c)
+
a
b
√
b)
−13
+ 5 5
√
c)
−17 −
7 5
√
7
d)
−
4
+
7
5
4
c)
=
d)
=
1
+
1
=
b+a
a
b
ab
√
√ √
√
3+ 2+ 3− 2
1
b
a
18.
a)
1
b)
8
√
=2 3
=
b
a
d) +
a
b
19.
Sprawdź, czy poniższa równość jest prawdziwa.
√
√
√
√
b) 2 + 3 =
a) 3
−
3 = 12
−
3 12
√
√
5+2 6
b
2
+a
2
=
ab
√
√
3+2 6+2+3−2 6+2
=
1
+
a
b
=
10
20.
Uprość wyrażenie i oblicz jego wartość dla
x
=
23
.
√
√
a) (x + 2)
2
−
(x
−
2)
2
√
√
√
√
b) (2 3
−
x)
2
−
2(2 3
−
x)(2
3 +
x)
+ (2 3 +
x)
2
√
√
c) (x + 3)
2
−
2(x + 3)(x
−
3) + (x
−
3)
2
√
√
21.
Uprość wyrażenie i oblicz jego wartość dla
x
= 2
−
1 i
y
= 1
−
2 2.
√
√
6x
−
y
6x +
y
−
(3x +
y)
2
+ 3x(2y +
x)
a)
b) (2x +
y)(4x
2
−
2xy +
y
2
)
−
2x(2x
−
y)
2
−
y(y
−
x)
2
√
√
22.
a) Wykaż, że liczba 9
−
4 5 jest liczbą odwrotną do 9 + 4 5.
√
√
b) Wykaż, że liczba 3
−
2 2 jest liczbą przeciwną do 1
−
2.
23.
Oblicz, jaki procent liczby
x
stanowi liczba
y.
a)
x
=
b)
x
= 3
2
5
−
3
12
−1
19.
a)
3
−
3
>
0
√
oraz 12
−
3 12
>
0
Obie strony równości pod-
nosimy do kwadratu
i otrzymujemy:
√
√
12
−
3 12 = 12
−
3 12
Zatem równość jest praw-
dziwa.
√
√
b)
2 + 3
>
0,
√
5+2 6
>
0
Obie strony równości pod-
nosimy do kwadratu
i otrzymujemy:
√
√
5+2 6=5+2 6
√
:
1
3
,
y
=
−
4
16
1
·
5
1
−
3
81
4
·
√
,
y
=
3
25
√ √
3
·
3
9
√
6
3
√
2
4
2
−3
4
·
3
3
Zatem równość jest praw-
dziwa.
√
√
20.
a)
4 2x, 2 6
√
21.
a)
−2y
2
, 2(−9 + 4 2)
√
b)
7x
2
y,
7(11
−
8 2)
23.
a)
x
=
1
2
b)
4x
2
, 3
c)
24
24.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, zapisz wyrażenie w postaci
iloczynu.
a) 121
−
49x
b)
c) 16x
−
1
2
d) 81x
−
4
4 2
x
−
25
y
2
9
16
4
e) (3x + 1)
−
4
f) 9(1
−
x)
−
(1 +
x)
2
2
1 4
y
16
2
g)
x
−
8x + 16
h) 81x
−
18x + 1
i) 16x
−
72x + 81
4
2
4
2
4
2
1
4
:
1
16
2
3
= 4,
1
y
= 3
·
3 : 3
6
= 3
3
·
100% = 75%
4
√
√
b)
x
=
1
·
3
15
·
3
3
=
1
,
3
5
25
27
2
3
y
=
8
·
9
=
4
y
·
100% =
3
·
5
·
100% =
x
4
y
x
·
100% =
√
√
√
1
22.
a)
9
−
4 5
·
9 + 4 5 = 81
−
80 = 1, więc 9
−
4 5 =
9+4
√
5
√
√
√
√
√
b)
−
3
−
2 2 =
−
(1
−
2)
2
=
−
1
−
2 =
−(
2
−
1) = 1
−
2
24.
a)
(11
−
7x)(11 + 7x)
b)
(
2
x
−
5
y)(
2
x
+
5
y)
3
4
3
4
c)
(2x
−
1)(2x + 1)(4x
2
+ 1)
d)
(3x
−
1
y)(3x
+
1
y)(9x
2
+
1
y
2
)
2
2
4
e)
3(3x
−
1)(x + 1)
f )
4(x
−
2)(2x
−
1)
= 375%
g)
(x
−
2)
2
(x + 2)
2
h)
(3x
−
1)
2
(3x + 1)
2
i)
(2x
−
3)
2
(2x + 3)
2
5.1. Liczby rzeczywiste
141

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin