macierze_w01s.pdf

(305 KB) Pobierz
RACHUNEK MACIERZOWY
INFORMATYKA
Transport, studia I stopnia
rok akademicki 2011/2012
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Adam Wosatko
Ewa Pabisek
INFORMATYKA
RACHUNEK MACIERZOWY
Czym jest macierz?
Definicja
Macierzą
A
nazywamy funkcję dwóch zmiennych,
która parze
(i,
j)
przyporządkowuje dokładnie jeden element
a
ij
,
przy czym
i
=
1, 2,
. . . ,
m,
natomiast
j
=
1, 2,
. . . ,
n.
Tworzy się w ten sposób
zbiór
m
·n
elementów
umieszczonych w tablicy o
m
wierszach i
n
kolumnach.
a
11
a
12
· · ·
a
1j
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2j
· · ·
a
2n
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
···
.
A
=
a
i1
a
i2
· · ·
a
ij
· · ·
a
in
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
···
.
.
a
m1
a
m2
· · ·
a
mj
· · ·
a
mn
Ogólnie dany element macierzy
a
ij
może być np. liczbą rzeczywistą,
liczbą zespoloną, operatorem (np. różniczkowania, całkowania),
wielomianem lub wektorem.
INFORMATYKA
RACHUNEK MACIERZOWY
Czym jest macierz?
Inny zapis
A
= [a
ij
]
, gdzie:
i
=
1, 2,
. . . ,
m, j
=
1, 2,
. . . ,
n
A
= [a
ij
]
[m×n]
=
A
(m×n)
[m
×
n]
- wymiary macierzy (liczba wierszy, liczba kolumn)
i
- indeks numeracji wierszy
j
- indeks numeracji kolumn
Dalsze rozważania ograniczymy wyłącznie do
macierzy rzeczywistych,
tzn. dla których element
a
ij
jest liczbą rzeczywistą.
INFORMATYKA
RACHUNEK MACIERZOWY
Różne typy macierzy
Macierz kwadratowa, diagonalna, jednostkowa
Jeśli
m
=
n
to macierz
A
nazywamy
prostokątną.
Jeśli
m
=
n
=
N
to macierz
A
nazywamy
kwadratową
(stopnia
N).
Przekątna główna macierzy kwadratowej
A
składa się z elementów
a
ii
,
(n×n)
gdzie
i
=
1, 2,
. . . ,
n.
Macierz kwadratowa
A
, w której wszystkie
(n×n)
elementy poza przekątną główną są zerowe, nazywa się macierzą
diagonalną
(oznaczoną
D).
Jeśli wszystkie elementy macierzy diagonalnej mają wartość 1, to taka
macierz stanowi macierz
jednostkową
(oznaczoną
).
I
a
11
0
· · ·
0
1 0
···
0
0
a
22
· · ·
0
0 1
···
0
I
=
. . .
D
=
.
.
.
.
..
.
.
.. .
.
. .
(n×n)
(n×n)
.
.
.
.
. .
.
0
D
=
diag(a
ii
)
0
···
a
nn
gdzie
δ
ij
=
0
0
···
1
0 dla
i
=
j
1 dla
i
=
j
I
= [δ
ij
]
[n×n]
,
δ
ij
– symbol Kroneckera
INFORMATYKA
RACHUNEK MACIERZOWY
Różne typy macierzy
Macierz transponowana
T
Macierz
A
T
jest
transponowana
względem macierzy
A,
jeśli
a
ij
=
a
ji
(wiersze zamieniamy z kolumnami).
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
11
a
21
· · ·
a
m1
a
12
a
22
· · ·
a
m2
a
21
a
22
· · ·
a
2n
T
A
=
.
.
.
A
[n×m]
=
.
.
.
..
..
.
.
.
.
.
.
(m×n)
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
T
a
m2
···
a
mn
a
1n
a
2n
···
a
mn
Właściwości macierzy transponowanej:
1
A
T
=
A
T
T
2
3
4
(αA) =
αA
T
,
α
– liczba rzeczywista
(A +
B)
=
A
T
+
B
T
(A
B)
=
B
T
A
T
T
INFORMATYKA
RACHUNEK MACIERZOWY

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin