dzielenie wielomianow.pdf

(168 KB) Pobierz
´
www.zadania.info
– N
AJWI EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA N Z
M
ATEMATYKI
˛
D
ZIELENIE WIELOMIANÓW
Dzielenie
wielomianów
to motyw przewodni wielu szkolnych zadan. Zacznijmy od przy-
´
pomnienia co to jest dzielenie liczb. Co to znaczy podzieli´ 15 przez 7? To znaczy sprawdzi´
c
c
˙
ile razy 7 mie´ ci si˛ w 15 (to jest iloraz), oraz ile zostanie jak te wszystkie mozliwe siódemki
s
e
˙
odejmiemy (to jest reszta). Mozemy to działanie zapisa´ w postaci
c
15
=
7
·
2
+
1.
˙
˙
W powyzszym rachunku
2
jest
ilorazem,
a
1
reszta z dzielenia.
To co jest bardzo wazne, to
˛
˙
ze reszta jest zawsze mniejsza od liczby, przez która dzielimy (gdyby reszta była wi˛ ksza od
˛
e
˙
7 to by znaczyło, ze w danej liczbie mie´ ci si˛ jeszcze jedna siódemka, czyli jest co´ nie tak z
s
e
s
naszym dzieleniem).
˙
Dokładnie tak samo dzieli si˛ wielomiany i jezeli b˛ dziemy musieli sobie kiedy´ szybko
e
e
s
przypomnie´ o co chodzi w dzieleniu wielomianów, najpierw napiszmy sobie przykład z
c
˙
liczbami podobny do tego wyzej.
Podzielenie wielomianu
W
(
x
)
przez wielomian
P
(
x
)
polega na znalezieniu dwóch wie-
lomianów
Q
(
x
)
i
R
(
x
)
tak, aby była spełniona równo´ c:
s´
W
(
x
) =
P
(
x
)
Q
(
x
)
+
R
(
x
)
,
gdzie stopien wielomianu
R
(
x
)
jest mniejszy od stopnia wielomianu
P
(
x
)
. Wielomian
Q
(
x
)
´
˙
nazywamy
ilorazem,
a
R
(
x
)
reszta z dzielenia.
Warunek deg
R
(
x
)
<
deg
P
(
x
)
nalezy trak-
˛
towa´ jako dokładny odpowiednik analogicznego warunku dla reszty przy dzieleniu liczb
c
˙
˙
(gdyby stopien nie był mniejszy, to by znaczyło, ze reszt˛ wciaz mozna podzieli´ przez
P
(
x
)
,
´
e
˛˙
c
co byłoby sprzeczne z idea reszty).
˛
˙
Powiedzmy, ze chcemy podzieli´ wielomian
W
(
x
) =
x
7
−
5x
3
+
x
przez wielomian
c
2
−
1. Jakie b˛ da stopnie ilorazu i reszty?
x
e ˛
˙
˙
Stopien ilorazu łatwo przewidzie´ . Poniewaz stopnie si˛ dodaja gdy mnozymy wie-
´
c
e
˛
7
musimy
x
2
lomiany, iloraz musi mie´ stopien 5 (inaczej mówiac, zeby wyszło
x
c
´
˛ ˙
5
). Co do reszty, to wiemy, ze maksymalnie moze mie´ stopien
˙ c
˙
˙
przemnozy´ przez
x
c
´
˙
1 (bo dzielimy przez wielomian stopnia 2). Czy ma dokładnie stopien 1? Tego juz
´
nie wiadomo, trzeba podzieli´ , zeby si˛ przekona´ .
c ˙
e
c
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
1
´
www.zadania.info
– N
AJWI EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA N Z
M
ATEMATYKI
˛
Wyznaczmy reszt˛ z dzielenia wielomianu
W
(
x
) =
x
5
−
4x
3
+
2x
+
1 przez wielo-
e
mian
(
x
−
2
)(
x
+
1
)
.
˙
Poniewaz dzielimy przez wielomian stopnia 2, reszta b˛ dzie miała stopien 1, czyli
e
´
˙
szukamy wielomianu
R
(
x
) =
ax
+
b
takiego, ze
x
5
−
4x
3
+
2x
+
1
= (
x
−
2
)(
x
+
1
)
Q
(
x
) +
ax
+
b,
gdzie
Q
(
x
)
jest pewnym wielomianem, który nas specjalnie nie interesuje (bo ma-
˙
my tylko wyznaczy´ reszt˛ ). Podstawiajac w tej równo´ ci
x
=
2 i
x
=
−
1 (zeby
c
e
˛
s
składnik z
Q
(
x
)
si˛ wyzerował), otrzymujemy układ równan
e
´
5
=
2a
+
b
2
=
−
a
+
b.
Odejmujac od pierwszego równania drugie otrzymamy
a
=
1, skad
b
=
3 i
R
(
x
) =
˛
˛
x
+
3.
˙
W przypadku gdy
R
(
x
) =
0 mówimy, ze wielomian
W
(
x
)
dzieli si˛ przez
P
(
x
)
bez reszty
e
˙
(albo krótko, ze si˛ dzieli przez
P
(
x
)
). Oczywi´ cie znowu jest to w pełni analogiczne do
e
s
terminologii stosowanej przy dzieleniu liczb.
˙
W jednym z poprzednich przykładów sprawdzili´ my, ze
s
2x
3
−
5x
2
+
7x
+
5
= (
x
2
−
3x
+
5
)(
2x
+
1
)
.
˙
Równo´ c ta oznacza, ze wielomian z lewej strony dzieli si˛ bez reszty zarówno
s´
e
przez wielomian
x
2
−
3x
+
5 (z ilorazem 2x
+
1) jak i przez 2x
+
1 (z ilorazem
x
2
−
3x
+
5).
Dzielenie wielomianów – dzielenie pisemne
˙
˙
Skoro juz dobrze wiemy o co chodzi w dzieleniu wielomianów, nadszedł czas, zeby´ my
s
nauczyli si˛ sprawnie takie dzielenie wykonywa´ .
e
c
Nauk˛ rozpoczniemy od dzielenia pisemnego, które jest dokładnym odpowiednikiem
e
˙
dzielenia liczb. Powiedzmy, ze chcemy podzieli´ wielomian
x
5
+
1 przez wielomian
x
2
+
1.
c
Wykonamy najpierw dzielenie, a potem wyja´ nimy, co dokładnie si˛ działo.
s
e
−
x
x
5
+
0x
4
+
0x
3
+
0x
2
+
0x
+
1 :
x
2
+
1
−
x
5
−
x
3
−
x
3
+
1
3
x
+
x
x
+
1
Zaczynamy jak przy dzieleniu liczb: piszemy wielomian, który dzielimy i nad nim rysuje-
˙
˙
my kresk˛ . W tym kroku jest wazne, zeby napisa´ wszystkie współczynniki wielomianu,
e
c
˙
˙ ˛
równiez te zerowe. Patrzymy teraz na najwyzsza pot˛ g˛
x
w naszym wielomianie, czyli na
e e
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
2
x
3
´
www.zadania.info
– N
AJWI EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA N Z
M
ATEMATYKI
˛
˙ ˛
x
5
i dzielimy przez najwyzsza pot˛ g˛
x
w wielomianie przez, który dzielimy. Otrzymuje-
e e
5
˙
˛
my
x
2
=
x
3
i piszemy to nad kreska, jest to pierwszy składnik wyniku. Mnozymy teraz
x
otrzymane
x
3
przez wielomian, przez który dzielimy i otrzymujemy
x
3
(
x
2
+
1
) =
x
5
+
x
3
.
˙
Zapisujemy to wyrazenie ze zmienionym znakiem pod wyj´ ciowym wielomianem. Cało´ c
s
s´
˙
podkre´ lamy i dodajemy. Teraz startujemy od wyrazenia pod kreska, czyli od
−
x
3
+
1 i po-
s
˛
wtarzamy te same operacje co poprzednio: dzielimy
−
x
3
przez
x
2
i wynik
−
x
piszemy u
˙
góry; przemnazamy
−
x
przez
x
2
+
1 i podpisujemy ze zmienionym znakiem pod
−
x
3
+
1.
˙
Znowu kreska i dodawanie. Teraz otrzymujemy juz wielomian, którego stopien jest mniej-
´
szy od wielomianu, przez który dzielimy, wi˛ c jest to nasza reszta. Iloraz mamy napisany
e
na samej górze.
˙
Sprawd´ my jeszcze, ze dzielenie dało nam dobry wynik
z
(
x
2
+
1
)(
x
3
−
x
) +
x
+
1
=
x
5
−
x
3
+
x
3
−
x
+
x
+
1
=
x
5
+
1,
czyli jest OK.
Dzielenie pisemne to bardzo szybki sposób na dzielenie wielomianów, ale zapis algoryt-
mu jest do´ c nieprzyjemny i z tego powodu na ogół traktujemy je jak ostateczno´ c.
s´
s´
Dzielenie wielomianów – grupowanie wyrazów
Grupowanie wyrazów to cz˛ sto najprostszy sposób na dzielenie wielomianów. Wprawdzie
e
sposób ten nie jest najszybszy, ale ma do´ c elegancki zapis i najtrudniej si˛ w nim pomyli´ .
s´
e
c
A nawet gdy zrobimy bład, to do´ c łatwo jest go znale´ c.
˛
s´
z´
Ale do rzeczy, zróbmy ten sam przykład co przy dzieleniu pisemnym.
x
5
+
1
=
x
3
(
x
2
+
1
)
−
x
3
+
1
=
x
3
(
x
2
+
1
)
−
x
(
x
2
+
1
) +
x
+
1
=
= (
x
3
−
x
)(
x
2
+
1
) +
x
+
1.
˙
W zasadzie jest to inny zapis dzielenia pisemnego: zaczynamy od najwyzszej pot˛ gi, czyli
e
od
x
5
i dopisujemy do niej składniki tak, aby mie´ wielokrotno´ c wielomianu, przez który
c
s´
dzielimy, czyli
x
3
. Potem odejmujemy to dopisane
x
3
i reszt˛ przepisujemy bez zmian. W
e
˙ e
kolejnym kroku robimy to samo, ale poczatkowym składnikiem
x
3
(
x
2
+
1
)
juz si˛ nie zaj-
˛
˙
mujemy i zaczynamy od
−
x
3
. Znowu dopisujemy brakujacy składnik do tego, zeby mie´
˛
c
˙
wielokrotno´ c
x
2
+
1 i go odejmujemy, zeby si˛ zgadzało. Zostaje wielomian stopnia 1, wi˛ c
s´
e
e
˙
jest to juz reszta z dzielenia. Na koniec grupujemy wyrazy wyciagajac
(
x
2
+
1
)
przed nawias,
˛ ˛
˙
zeby było wida´ jaki jest iloraz.
c
˙
Przy odrobinie wprawy, zapis dzielenia przy pomocy grupowania wyrazów mozna znacz-
nie skróci´ , co zilustrujmy dzielac wielomian
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1 przez wielomian
x
−
4.
c
˛
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
3
−
4x
2
) + (
6x
2
−
24x
) + (
x
−
4
) +
5
=
= (
x
−
4
)(
x
2
+
6x
+
1
) +
5.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
3
´
www.zadania.info
– N
AJWI EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA N Z
M
ATEMATYKI
˛
O co chodzi? Rozpiszmy szczegółowo w jaki sposób pisali´ my kolejne składniki tego wyra-
s
˙
zania.
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
3
−
4x
2
)
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
3
−
4x
2
) +
6x
2
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
3
−
4x
2
) + (
6x
2
−
24x
) +
x
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
3
−
4x
2
) + (
6x
2
−
24x
) + (
x
−
4
)
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
3
−
4x
2
) + (
6x
2
−
24x
) + (
x
−
4
) +
5
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
−
4
)(
x
2
+
6x
+
1
) +
5.
Zaczynamy od
x
3
i dopisujemy drugi składnik tak, aby mie´ wielomian podzielny przez
c
3
c
x
−
4 (czyli
x
·
(−
4
) =
−
4x
2
). Potem patrzymy na
x
2
: ma by´ 2x
2
, a na razie mamy napi-
x
sane
−
4x
2
, wi˛ c trzeba doda´ 6x
2
. Do tego 6x
2
znowu dopisujemy składnik tak, aby mie´
e
c
c
2
wielomian podzielny przez
x
−
4 (czyli
6x
·
(−
4
) =
−
24x). Teraz patrzymy na
x:
mamy
x
˙
napisane
−
24x, a ma by´
−
23x, wi˛ c dopisujemy
x.
Potem dopisujemy
−
4 (zeby mie´
x
−
4)
c
e
c
˙
i na koniec dodajemy 5, zeby si˛ zgadzało (bo ma by´ 1). Na koniec wyłaczamy
x
−
4 przed
e
c
˛
nawias.
Dzielenie wielomianów – schemat Hornera
Schemat Hornera pozwala bardzo szybko (i bezmy´ lnie) dzieli´ wielomiany przez dwumia-
s
c
ny postaci
x
−
a.
Jak zwykle wyja´ nijmy o co chodzi na przykładzie.
s
Wykonamy to samo dzielnie, co poprzednio, czyli dzielimy
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1 przez
x
−
4. Robimy tabelk˛ i w pierwszym jej wierszu, poczawszy od drugiego pola, wpisujemy
e
˛
kolejne współczynniki wielomianu (łacznie z zerowymi!), który dzielimy.
˛
1
1
2
4
·
1
+
2
=
6
-23
4
·
6
−
23
=
1
1
4
·
1
+
1
=
5
4
Dolny wiersz wypełniamy nast˛ pujaco:
e
˛
˙
a) w pierwszym polu wpisujemy
a,
jezeli dzielimy przez
x
−
a
(w naszym przypadku 4);
b) w drugim polu przepisujemy element z górnego wiersza (w naszym przypadku 1);
˙
˙
c) kazdy kolejny element drugiego wiersza powstaje przez pomnozenie poprzedniego
elementu przez element pierwszy (czyli przez
a,
u nas przez 4) i dodanie liczby, która
jest napisana u góry.
˙
Gdy juz wypełnimy dolny wiersz, wynik odczytujemy nast˛ pujaco
e
˛
a) liczby od drugiej do przedostatniej sa współczynnikami ilorazu, w naszym przykła-
˛
dzie daja nam wielomian
˛
x
2
+
6x
+
1;
b) ostatnia liczba w drugim wierszu jest reszta z dzielenia, w naszym przykładzie reszta
˛
jest równa
5.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
4
´
www.zadania.info
– N
AJWI EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA N Z
M
ATEMATYKI
˛
˙
Wida´ zatem, ze otrzymali´ my t˛ sama odpowied´ , co poprzednio:
c
s
e
˛
z
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
−
4
)(
x
2
+
6x
+
1
) +
5.
˙
Sprawd´ my, ze liczba
x
=
−
1 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu
W
(
x
) =
z
x
3
−
x
2
−
5x
−
3.
˙
˙
Musimy wykaza´ , ze wielomian
W
(
x
)
dzieli si˛ przez
(
x
+
1
)
2
, czyli, ze mozna go
c ˙
e
dwa razy podzieli´ przez dwumian
x
+
1. Wykonujemy pierwsze dzielenie.
c
1
1
-1
-2
-5
-3
-3
0
-1
Zatem po podzieleniu otrzymujemy wielomian
x
2
−
2x
−
3.
Teraz dzielimy raz
jeszcze.
1
1
-2
-3
-3
0
-1
˙
Teraz otrzymali´ my iloraz
(
x
−
3
)
i reszt˛
0,
co pokazuje, ze istotnie wyj´ ciowy wie-
s
e
s
˙
lomian dzieli si˛ przez
(
x
+
1
)
2
. Wynik wykonanych rachunków mozemy zapisa´
e
c
w postaci:
x
3
−
x
2
−
5x
−
3
= (
x
+
1
)(
x
2
−
2x
−
3
) = (
x
+
1
)
2
(
x
−
3
)
.
Zadania.info
Podoba Ci się ten poradnik?
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
T
IPS
& T
RICKS
1
W wielu prostych zadaniach dzielenie wielomianów wykonujemy rozkładajac wielomian
˛
˙
na czynniki, korzystajac ze wzorów skróconego mnozenia lub grupujac wyrazy.
˛
˛
Zapiszmy wielomian
W
(
x
) =
x
3
−
x
2
−
5x
+
5 jako iloczyn czynników liniowych.
Jeden ze sposobów rozwiazania tego zadania, to szukanie pierwiastków tego wie-
˛
˙ c
lomianu, a potem dzielenie przez dwumian. Znacznie pro´ ciej jest jednak rozłozy´
s
go bezpo´ rednio:
s
x
3
−
x
2
−
5x
+
5
=
x
2
(
x
−
1
)
−
5
(
x
−
1
) =
√
√
2
= (
x
−
5
)(
x
−
1
) = (
x
−
5
)(
x
+
5
)(
x
−
1
)
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin